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Una posible "razón de ser" del cálculo diferencial elemental en el ámbito de la modelización funcional

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Una posible "razón de ser" del cálculo diferencial elemental en el ámbito de la modelización funcional

Lucas, Catarina Oliveira
 
DATE : 2015-12-18
UNIVERSAL IDENTIFIER : http://hdl.handle.net/11093/542
UNESCO SUBJECT : 1202.04 Cálculo de Variaciones
DOCUMENT TYPE : doctoralThesis

ABSTRACT :

La problemática que se trata en esta memoria, que se sitúa de manera inequívoca en el marco que proporciona la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD), se ubica en el nivel educativo entre la última etapa de la enseñanza secundaria y el principio de los estudios universitarios del sistema educativo portugués, aunque muchos de los hechos que expondremos, de los fenómenos que estudiaremos y de las conclusiones a las que llegaremos no están forzosamente circunscritos a este espacio institucional. El problema que nos planteamos hace referencia a una posible razón de ser del cálculo diferencial elemental (en adelante, CDE), esto es, a las cuestiones que, para ser respondidas, requieren de manera imprescindible del CDE y a las tareas que sólo pueden llevarse a cabo (de manera fiable y económica) con el concurso de las técnicas que forman parte del citado CDE. Se trata, en consecuencia, de las cuestiones y las tareas que dan sentido o, mejor, podrían dar sentido, al estudio escolar de dicho ámbito de la actividad matemática en la institución de referencia. Pero esta ... [+]
La problemática que se trata en esta memoria, que se sitúa de manera inequívoca en el marco que proporciona la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD), se ubica en el nivel educativo entre la última etapa de la enseñanza secundaria y el principio de los estudios universitarios del sistema educativo portugués, aunque muchos de los hechos que expondremos, de los fenómenos que estudiaremos y de las conclusiones a las que llegaremos no están forzosamente circunscritos a este espacio institucional. El problema que nos planteamos hace referencia a una posible razón de ser del cálculo diferencial elemental (en adelante, CDE), esto es, a las cuestiones que, para ser respondidas, requieren de manera imprescindible del CDE y a las tareas que sólo pueden llevarse a cabo (de manera fiable y económica) con el concurso de las técnicas que forman parte del citado CDE. Se trata, en consecuencia, de las cuestiones y las tareas que dan sentido o, mejor, podrían dar sentido, al estudio escolar de dicho ámbito de la actividad matemática en la institución de referencia. Pero esta formulación, aparentemente clara, esconde ambigüedades que deben ser precisadas desde el principio. En primer lugar, la noción misma de cálculo diferencial elemental debe clarificarse. En esta memoria, denominamos «cálculo diferencial elemental» (CDE) al ámbito de la organización matemática escolar que bajo el nombre de «cálculo» o de «análisis» se imparte habitualmente en la última etapa de la enseñanza secundaria (en Portugal, en España y en otros muchos países) junto con algunos elementos del cálculo diferencial e integral que se imparte en el primer curso universitario de diferentes grados del sistema educativo portugués (como, por ejemplo el grado de Medicina Nuclear) y español (como, por ejemplo, los grados de Biología, Geología o Química). En la sección 4 del capítulo II se describen con precisión los componentes del ámbito que denominamos CDE en esta memoria y que, salvo la introducción elemental a las ecuaciones diferenciales, coincide prácticamente con la parte correspondiente del programa oficial de Secundaria y primeros cursos de algunos grados universitarios. En segundo lugar, y este es un punto central, hemos de distinguir entre la razón de ser «oficial» que la institución escolar estipula para el CDE (las funciones que le asigna) y otras posibles razones de ser alternativas. Puede darse el caso que, en base a una investigación didáctica relativa a un cierto ámbito de la actividad matemática, se sienta la necesidad de postular una razón de ser distinta de la que le asigna el currículo oficial, lo que comportará la necesidad de modificar profundamente las cuestiones y las tareas que se suponía que daban sentido a dicho ámbito de la actividad matemática escolar (en una institución determinada). La nueva razón de ser provocará, inevitablemente, una reformulación y hasta una nueva definición, de la estructura de dicho ámbito y de su relación con el resto de las organizaciones matemáticas escolares. Éste es, de hecho, un caso bastante habitual en las investigaciones didácticas que se realizan en el marco teórico de la TAD hasta el punto que, muchas de las citadas investigaciones pueden interpretarse (aunque no sea ésta la única interpretación posible) como la asignación a cierto ámbito de la matemática escolar, por parte de un modelo epistemológico de referencia (en adelante, MER) alternativo al modelo epistemológico dominante en la institución en cuestión, de una razón de ser distinta de la que se le asigna oficialmente. Así, por ejemplo, podemos citar los siguientes ámbitos a los que se les ha asignado, en diferentes trabajos, una razón de ser alternativa: al álgebra elemental como instrumento de modelización de sistemas matemáticos o extra-matemáticos (Bolea et al., 2001; Ruiz-Munzón et al., 2012); a los límites de funciones (Barbé et al., 2005); a los negativos en el ámbito del álgebra elemental (Cid & Ruiz-Munzón, 2011); a los sistemas de numeración en el ámbito del cálculo aritmético (Sierra et al., 2007); a la proporcionalidad en el ámbito de las relaciones funcionales (García et al., 2006); a los números reales en el ámbito de las magnitudes continuas (Licera et al., 2011); y a la modelización funcional con parámetros como desarrollo del álgebra elemental (Ruiz-Munzón et al., 2008). Digamos, por último, que la razón de ser de un ámbito de la actividad matemática, en una institución determinada, no tiene por qué ser única puesto que, entre otros motivos, diferentes razones de ser de un mismo ámbito pueden situarse en diferentes áreas o sectores de la matemática escolar. Así, por ejemplo, la razón de ser del álgebra lineal que forma parte del primer curso de múltiples grados universitarios, puede situarse en el ámbito de las geometrías lineales, de la estadística o de la programación lineal, entre otros y, además, dentro de cada uno de ellos, las cuestiones y las tareas que requieren de manera imprescindible el uso de las técnicas del álgebra lineal pueden elegirse y estructurarse de diferentes formas. Es por esta razón que hablamos de una posible razón de ser (en lugar de hablar de la razón de ser) del cálculo diferencial elemental en el ámbito de la modelización funcional. A fin de enmarcar y empezar a precisar las cuestiones que forman parte del problema de investigación que trataremos en esta memoria, hemos de señalar que éste, lejos de ser un problema aislado, surge de la confluencia de tres problemáticas que han sido objeto de investigación por parte de la comunidad científica que trabaja en el marco de la TAD. Las tres problemáticas están relacionadas en mayor o menor grado con un fenómeno didáctico muy general que se pone de manifiesto en la rigidez, incompletitud relativa, desarticulación y hasta atomización de las organizaciones matemáticas escolares que viven en la enseñanza secundaria tanto española como portuguesa y, en especial, en la relación de dicho fenómeno con las restricciones que inciden sobre la génesis y el desarrollo de la actividad de modelización matemática en las citadas instituciones. Es importante subrayar, sin embargo, que éste no puede considerarse un fenómeno «uniforme» cuya naturaleza y cuyas consecuencias puedan describirse de una vez por todas y de forma similar en todos los casos. Por el contrario, en cada caso presenta características y consecuencias específicas que dependen de los contenidos matemáticos involucrados, lo que no contradice que, en todos los casos estudiados hasta la fecha, las diferentes variedades de dicho fenómeno provoquen restricciones de uno u otro tipo a la vida escolar de la modelización matemática. La primera y más básica de las problemáticas que están en el origen de nuestro problema didáctico surgió precisamente cuando se empezó a estudiar este fenómeno didáctico general que, como hemos dicho, se manifiesta en la rigidez, atomización, incompletitud relativa y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares que viven en la enseñanza secundaria (española y portuguesa) y las restricciones que dicho fenómeno comporta para la vida de la modelización matemática en el paso de Secundaria a la Universidad (Fonseca, 2004; Lucas, 2010). El desarrollo de esta línea de investigación provocó la emergencia de la problemática relativa a las restricciones que dificultan el desarrollo de la modelización matemática en el inicio de la enseñanza universitaria y la necesidad de un estudio sistemático de la ecología de la modelización matemática en el primer curso universitario. Diferentes estudios en esta dirección (Barquero, 2009; Serrano, 2013) han permitido describir algunas de las condiciones que se requieren para que sea posible el desarrollo de la modelización matemática en dicho nivel educativo, detectando las principales restricciones que lo dificultan. En síntesis, estos estudios mostraron que el modelo docente habitual, que se sitúa dentro del paradigma monumentalista (Chevallard, 2013), junto al modelo epistemológico de las matemáticas que lo sustenta, constituyen una importante fuente de restricciones a la vida escolar de la modelización matemática. Estas restricciones se manifiestan, en especial, en la manera como desde dicho modelo epistemológico se interpreta la relación entre las matemáticas y las diferentes disciplinas en las que surgen los sistemas cuyo estudio requiere que sean modelizados matemáticamente. Dicha relación ha sido caracterizada mediante la noción de aplicacionismo (Barquero, Bosch & Gascón, 2014). La respuesta para empezar a establecer las condiciones necesarias que posibiliten la vida institucional de la modelización matemática, empieza por construir un MER estructurado como una red de praxeologías de complejidad y completitud crecientes y cuya dinámica de desarrollo viene guiada por procesos sucesivos de modelización matemática. Dicho MER asigna una razón de ser alternativa a la modelización matemática, (esto es, redefine la estructura y las funciones de la actividad de modelización matemática en el primer curso de enseñanza universitaria) y ha servido de base, en cada caso, para diseñar y experimentar diferentes recorridos de estudio e investigación (en adelante, REI) en el citado nivel educativo. La segunda problemática que confluye en el problema de investigación que nos planteamos en esta memoria surgió al estudiar un fenómeno, que puede considerarse como una manifestación específica del fenómeno general descrito anteriormente y que se revela en la llamativa desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto del resto de relaciones funcionales que aparecen en la enseñanza secundaria obligatoria (García, 2005; García et al., 2006). Para estudiar dicho fenómeno y, al mismo tiempo, proponer una posible dirección de cambio de la estructura de las praxeologías matemáticas involucradas, los autores citados construyeron una praxeología matemática regional que articula un cierto conjunto, previamente construido, de tipos de variación elemental entre magnitudes discretas, entre las que figura la relación de proporcionalidad. La tercera de las problemáticas que está en el origen de nuestro problema de investigación surgió al profundizar en el estudio de la modelización funcional como desarrollo de las investigaciones sobre el proceso de algebrización de la actividad matemática y como completación del MER del álgebra elemental (Ruiz-Munzón, 2010). Fue precisamente en el ámbito de esta problemática en el que se formuló la conjetura, que llamaremos conjetura de Ruiz-Munzón, según la cual una posible «razón de ser» del cálculo diferencial, esto es, las cuestiones problemáticas que dan sentido al estudio del cálculo diferencial en la última etapa de la enseñanza secundaria, debería situarse en el ámbito de la modelización funcional. Para profundizar en el significado de la citada conjetura, proponemos una redefinición de la noción misma de «modelización funcional» (en adelante MF) que amplía en gran medida, al tiempo que detalla y precisa los tipos de tareas que forman parte de la actividad de MF. Esta nueva caracterización de la MF se materializa esquemáticamente en el diagrama de actividad de MF (que figura en la sección 2 del capítulo III) y se desarrolla con todo detalle en el capítulo IV. En consecuencia, la actividad matemática que consideramos involucrada en nuestro problema didáctico incluirá, junto al cálculo diferencial elemental (caracterizado al final del capítulo II), las actividades de MF tal como las hemos redefinido mediante el citado diagrama de actividad. Es preciso señalar que las decisiones que hemos tomado, tanto en lo referente al recorte institucional (el paso de la Secundaria a la Universidad en el sistema educativo portugués), como en lo que respecta al recorte de los contenidos de la actividad matemática que tomaremos en consideración, no son neutrales ni intrascendentes. Estas decisiones, como cualesquiera otras que hubiésemos podido tomar, condicionan en gran medida el tipo de problema didáctico que podremos formular y, simultáneamente, la naturaleza del MER que proponemos. Una vez descritas brevemente las tres problemáticas que convergen en esta memoria, formularemos de una forma sintética la relación que establecemos con cada una de ellas. (1) El análisis a posteriori de la experimentación que hemos llevado a cabo de diversos REI sustentados en el MER muestra que la redefinición de la MF que dicho MER propone, junto a la razón de ser que asigna al CDE en dicho ámbito, constituyen condiciones que favorecen la vida de la MF en el inicio de la enseñanza universitaria y, más concretamente, en un primer curso de Medicina Nuclear. Dicho análisis ecológico ha puesto de manifiesto, asimismo, algunas de las restricciones que dificultan en una u otra forma el desarrollo normal de dicha actividad. Estos resultados deben considerarse como una aportación en la línea de la primera y más básica de las problemáticas citadas, esto es, un aporte al estudio de la ecología de la modelización matemática (en nuestro caso se trata, específicamente, de la MF desarrollada con ayuda del cálculo diferencial elemental) en un primer curso de estudios universitarios. (2) Relacionado con la segunda de las problemáticas citadas (la desarticulación entre la relación de proporcionalidad y el resto de relaciones funcionales) hemos estudiado el fenómeno específico de la desarticulación escolar entre el CDE y la MF. Hemos indagado la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria portuguesa, el origen transpositivo de dicho fenómeno, las condiciones que lo mantienen y sus principales consecuencias didácticas. Aunque se trata de dos fenómenos distintos, podemos decir que, en cierto sentido, nuestros resultados generalizan los obtenidos en García (2005) puesto que los REI diseñados y experimentados en esta memoria incluyen la caracterización y construcción de un conjunto más amplio de tipos de variación funcional entre magnitudes continuas y abordan explícitamente la problemática del paso de la variación entre magnitudes discretas a la variación entre magnitudes continuas. (3) En cuanto a la tercera de las problemáticas descritas, los resultados de la experimentación confirman la verosimilitud de la conjetura de Ruiz-Munzón, con la condición de reinterpretarla de acuerdo con el nuevo significado de la noción de MF que proporciona nuestro MER (y que contiene, en particular, las funciones asignadas al CDE). En efecto, mediante el desarrollo de una actividad matemática concreta, se ha puesto de manifiesto el alcance y el significado de la citada conjetura y, sobre todo, se ha mostrado en qué sentido puede afirmarse que la razón de ser (o, mejor, una posible razón de ser) asignada al CDE puede situarse en el ámbito de la MF y qué consecuencias acarrea dicha asignación. Centrándonos ahora en la estructura formal de la memoria, vemos que ésta se divide en seis capítulos más los correspondientes anexos. En el capítulo I se hace una síntesis de los principales antecedentes de este trabajo, empezando por las numerosas investigaciones que, desde diversos enfoques didácticos, analizan la contraposición entre la rigidez de la actividad matemática escolar y la necesaria flexibilidad de la actividad matemática considerada como «genuina» o «funcional» porque está encaminada a responder cuestiones problemáticas que emergen en las diferentes instituciones sociales. Como culminación de esta síntesis se resumen muy brevemente los principales resultados obtenidos en el marco de la TAD relativos al fenómeno didáctico de la rigidez, atomización e incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares. Se subraya la importancia de la actividad de modelización matemática como instrumento de articulación de las organizaciones matemáticas y el papel de los REI como respuesta a las restricciones que dificultan el desarrollo de la modelización matemática en las instituciones escolares. El capítulo se completa con la descripción de las otras dos problemáticas que están en el origen de nuestro problema de investigación y que se han descrito brevemente al principio de esta introducción general. En el capítulo II se expone una panorámica del tratamiento que ha recibido el problema didáctico del cálculo diferencial en algunas de las principales investigaciones en Educación Matemática. Con el objetivo de mostrar las relaciones entre las diversas investigaciones y el problema que se trata en esta memoria, se pone especial atención en la forma como se ha tratado la problemática del cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad y en las relaciones que las diversas investigaciones didácticas propugnan entre éste y la modelización funcional en dicho nivel educativo. Una de las principales conclusiones de este análisis panorámico puede resumirse afirmando que muchas de las investigaciones didácticas analizadas tienden a asumir (sin cuestionarla) la razón de ser oficial del cálculo diferencial, esto es, la que le asigna el sistema escolar. El capítulo concluye con una caracterización de lo que a partir de este punto consideraremos en esta memoria como cálculo diferencial elemental y abreviaremos mediante las siglas CDE. El capítulo III se inicia explicando la inevitable simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia y el problema didáctico asociado y describiendo los rasgos fundamentales o criterios generales que deberá cumplir un MER que asigne al CDE la razón de ser alternativa que propugnamos (en el ámbito de la MF) y que, postulamos, posibilitará el desarrollo institucional de esta actividad. Hemos utilizado este esbozo esquemático de MER como sistema de referencia provisional para describir, por contraste, la razón de ser «oficial» que el sistema escolar asigna al CDE y, también, para empezar a caracterizar la actividad de MF tal como la redefinimos en esta memoria. En concreto, proponemos un diagrama de actividad que esquematiza, a priori, los principales tipos de tareas que forman parte de la que entendemos como actividad de MF así como las relaciones entre ellas. Este diagrama de actividad es un «mapa» que pretende incluir (y relacionar entre sí) el conjunto de los recorridos matemáticos que son posibles a priori cuando se lleva a cabo una actividad de MF, integrando en dichas actividades las funciones que proponemos debe jugar el CDE. Se trata, en consecuencia, de una versión todavía muy esquemática del MER alternativo que proponemos. El MER es una hipótesis científica que se construye de manera simultánea a la formulación progresiva del problema didáctico y que, de hecho, al mostrar «en vivo» la razón de ser alternativa que propugnamos para el CDE en el ámbito de la MF, pone de manifiesto (saca a la luz) los aspectos más relevantes del fenómeno de la desarticulación específica entre el CDE y la MF que estamos estudiando y sugiere algunas de sus consecuencias. Como hemos señalado anteriormente en este capítulo no se construye todavía un MER que cumpla dichas condiciones, únicamente se detallan las condiciones generales que debe cumplir y se hace un esquema de su estructura global. A su vez, hemos utilizado el esquema de MER para formular el problema de investigación didáctica que abordamos en esta memoria (que figura en la sección 3) y, en parte, para interpretar la evolución histórica del papel que ha jugado el CDE en la enseñanza secundaria portuguesa (sintetizada en la sección 4 de este capítulo). Tomando como referencia el citado esquema de la estructura del MER hemos formulado y contrastado empíricamente diez conjeturas relativas a diferentes aspectos de la incompletitud y la desarticulación del CDE y la MF (en la última etapa de la enseñanza secundaria). La interpretación de estos resultados junto con los datos proporcionados por el análisis exhaustivo de los documentos curriculares oficiales portugueses (junto a los españoles) nos ha permitido describir e interpretar la razón de ser oficial del CDE en términos de los tipos de tareas y de cuestiones que el currículo portugués propone para dar sentido a su estudio (en el paso de Secundaria a la Universidad) y analizar en qué medida dichas tareas y cuestiones se sitúan en el ámbito de la MF (estos resultados figuran en la sección 8). En coherencia con el fenómeno de rigidez y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares (confirmado ampliamente en esta memoria), estas tareas aparecen desconectadas entre sí, como si se tratase de tareas independientes, y las técnicas asociadas son muy estereotipadas. El análisis de esta razón de ser «oficial» ha puesto de manifiesto que, paradójicamente, algunas de las tareas que según el currículo oficial dan sentido al CDE, no se interpretan en la matemática escolar, aunque lo sean, como actividades útiles en alguna etapa de un hipotético proceso de MF. En consecuencia, la razón de ser oficial que el sistema educativo asigna explícitamente al CDE en este nivel educativo está aún más alejada de la MF de lo que la práctica matemática escolar que se lleva a cabo efectivamente permitiría interpretar. El capítulo finaliza con una breve descripción del fenómeno didáctico que denominamos de la falta de visibilidad escolar de la MF y de la correspondiente ausencia de una posible razón de ser del CDE. En el capítulo IV se caracterizan los tipos de variación que consideraremos en la construcción de modelos funcionales, tanto si éstos se construyen a partir de datos discretos como si parten de datos continuos. El núcleo de este capítulo lo constituye la construcción explícita y detallada de algunos recorridos matemáticos (RM) a priori que encarnan el MER. Esta construcción se lleva a cabo, en la práctica de la investigación didáctica, al tiempo que se va perfilando la progresiva formulación del problema de investigación (explicitado en el capítulo III), pero el carácter lineal del texto de la memoria no permite obviamente la descripción simultánea del MER y del problema didáctico. Es importante subrayar, sin embargo, que en la formulación del problema de investigación (que figura en la sección 3 del capítulo III) se utilizan de forma esencial componentes del MER y, recíprocamente, el MER puede considerarse como una respuesta a la dimensión epistemológica (que es la dimensión básica) del problema didáctico. La construcción efectiva y material de algunos de los RM posibles sustentados en el MER no está completamente determinada por éste puesto que la arborescencia de tareas, cuestiones (y elementos de respuesta) en las que puede materializarse un RM dependerá de la naturaleza concreta de la cuestión generatriz, del tipo de datos de los que se parta y de las sucesivas cuestiones derivadas. Lo que sí está determinado por el MER es la estructura básica de los diferentes RM posibles. En particular, uno de los invariantes que este MER determina es el papel del CDE y, en particular, el trabajo con modelos diferenciales como un instrumento esencial en el proceso de construcción, estudio y utilización de modelos funcionales, tanto si se parte de datos discretos como si los datos iniciales son continuos. Este capítulo concluye con el esbozo de un análisis ecológico a priori, esto es, un análisis de algunas de las condiciones que debería cumplir la organización matemática escolar para integrar este tipo de RM. El capítulo V se inicia con un análisis muy detallado de las condiciones institucionales que requiere la experimentación en el grado de Medicina Nuclear de recorridos de estudio e investigación (REI) sustentados en el MER. Este análisis incluye la coordinación y ampliación de los objetivos programáticos habituales, la distribución del programa de estudio estructurado por problemas de Medicina Nuclear y su relación con los recorridos matemáticos y con las tareas del diagrama de actividad. El diseño a priori de los REI requiere la distribución del programa de estudio en unidades didácticas y la planificación del desarrollo de éstas mediante la articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear que se pretenden estudiar. Precisamente una de las características de la experimentación descrita en este capítulo consiste en poner de manifiesto la posibilidad de recubrir ampliamente el curso de cálculo de Medicina Nuclear. El núcleo de este capítulo está formado por una descripción muy detallada de la evolución de las sesiones presenciales, completada con las actividades llevadas a cabo en las sesiones virtuales. Esta descripción culmina con el análisis global del desarrollo y de los resultados de la experimentación, con una evaluación de diferentes aspectos de la experimentación y con la explicitación de algunos criterios de modificación del diseño de los REI para tener en cuenta en futuras experimentaciones. En particular, uno de los aspectos de la experimentación que podría ser cuestionado es el de la institución en la que se ha llevado a cabo. Postulamos que la decisión de llevar a cabo la experimentación en un primer curso universitario de Medicina Nuclear es coherente con la naturaleza de la razón de ser que nuestro MER asigna al CDE en el ámbito de la MF. Consideramos que para que sea razonable situar determinados contenidos matemáticos en cierto nivel educativo, es imprescindible que se den las condiciones de todo tipo para que los alumnos en cuestión puedan llevar a cabo las tareas que se requieren para responder a las cuestiones que constituyen la razón de ser que asignamos a dichos contenidos. En nuestro caso, y dado que el MER que proponemos sitúa la razón de ser del CDE en el ámbito de la MF, se requiere que los alumnos dispongan de los medios para trabajar en este ámbito utilizando el CDE en la forma que el MER propone. Estos medios no están actualmente disponibles en la enseñanza secundaria portuguesa pero, como hemos mostrado, mediante algunas modificaciones curriculares, pueden estarlo en el primer curso universitario. Digamos, para concluir esta introducción general, que el capítulo VI se dedica a describir brevemente las principales aportaciones y los problemas abiertos más relevantes que emergen de este trabajo. La memoria se completa con unos anexos que profundizan en la explicación de determinados aspectos que son relevantes en las diferentes secciones. Así, el anexo A recoge algunos fundamentos y características de la teoría antropológica de lo didáctico encuadrada dentro del programa epistemológico de investigación en didáctica (Gascón, 2003) y complementa la presentación del marco teórico que se presenta en el capítulo I de esta memoria. El anexo B detalla el estudio de la rigidez de la actividad matemática escolar en la Secundaria portuguesa y española (Fonseca, 2004; Lucas, 2010; Lucas et al., 2014a, 2014b) cuya síntesis se describe en la sección 2 del capítulo I. El anexo C presenta algunas propuestas de otras investigaciones didácticas para la construcción de la derivada y es un suplemento del capítulo II. El anexo D resulta de una recolección de los currículos de las matemáticas en la enseñanza secundaria portuguesa a lo largo del siglo XX y XXI cuyo análisis detallado se presenta en la sección 4 del capítulo III. En el anexo E se lleva a cabo una descripción exhaustiva de la contrastación empírica de las conjeturas C1-C10 (CDE-MF) en los manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa cuyo análisis global, así como la correspondiente interpretación de los resultados, se presenta en las secciones 5, 6 y 7 del capítulo III. El anexo F describe la construcción algebraica de modelos discretos y continuos presentados de forma sucinta en la sección 1 del capítulo IV a partir del estudio de la variación de los datos brutos. El anexo G presenta todos los medios didácticos utilizados en la experimentación descrita en el capítulo V con estudiantes de Medicina Nuclear (presentación de las nociones básicas de la modelización funcional, cuestiones problemáticas y fichas de trabajo). [-]

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